本文主要介绍了平衡二叉树（AVL）和红黑树（rbtree）的特点以及实现，具体而言在树的插入删除平衡修复过程介绍篇幅较大。
一、平衡二叉树和红黑树
平衡二叉树（AVL）： 作为二叉查找树而言，平衡二叉树具备快速查找、插入、删除的特点，并且在平衡二叉树中任何节点的左右子树高度之差不超过1，这一特点使得平衡二叉树具备非常好的平衡性。
红黑树（RB）： 红黑树的特点是利用节点的颜色来控制树的平衡，根节点为黑，其余的节点可以为红或者黑，并且不能够存在父子节点同时为红的情况。最重要的一点是，每个节点到其叶节点的路径上的黑色节点的个数相等，这保证了红黑树具备平衡性。
红黑树广泛应用于Linux内核、STL关联容器及nginx中，具备非常好的查找、插入删除特性。
二、为什么红黑树比平衡二叉树应用更广泛
相对于红黑树，平衡二叉树具备更好的平衡性，因而在查找操作频繁的场景中，使用平衡二叉树比较好，但是实际上红黑树应用更加广泛。首先就查找而言，红黑树也具备相当程度的平衡性，所以查找的性能也是很好的，其次二者的差别主要体现在插入和删除后的平衡操作上。
为了保证树本身的特点，在插入和删除操作完成后，平衡二叉树和红黑树都需要进行rebalance操作调整树形。虽然二者插入和删除操作本身的复杂度都是O(n)，但是在调整时红黑树更加高效。因为AVL树在平衡了当前节点之后要不断回溯可能要到根节点才能完成平衡，因而需要O(n)的复杂度，而红黑树在平衡时最多只需要三次就能够完成调整，复杂度是O(1)。
三、实现
这里介绍平衡二叉树和红黑树的C++实现
1. 节点的设计
为了方便，平衡二叉树和红黑树共用一个数据结构作为节点，主要保存左右子节点、父节点以及红黑颜色。
struct tree_node_base {
color_type color;
tree_node_base * parent;
tree_node_base *left;
tree_node_base *right;
};
2. 左旋和右旋
无论是AVL树还是红黑树在插入删除之后的平衡操作中，都离不开对节点的旋转操作。节点的左旋和右旋操作具有对称性，这里以节点的左旋为主。
左旋操作如下所示，要保证旋转完之后仍然有序，左旋如果以y为核心的话可以看作将y旋转成其父节点x的父节点，也就是将y向上提升了一层，相应的其父节点x往下挪了一层
x y
/ \ 左旋 / \
x1 y ===> x y2
/ \ / \
y1 y2 x1 y1
具体实现的话，左旋操作主要需要关注x、y和y的左节点，其余节点不会发生变化，另外还需要考虑树的根节点，因为如果x刚好是根节点的话还需要更新根节点为y
void rotate_left(tree_node_base *x, tree_node_base *& root) {
auto y = x->right;
x->right = y->left;
if (y->left) y->left->parent = x;
y->parent = x->parent;
if (x == root)
root = y;
else if (x == x->parent->left)
x->parent->left = y;
else
x->parent->right = y;
y->left = x;
x->parent = y;
}
3. 插入和删除
二叉查找树节点的插入比较简单，从根节点开始往下查找，找到相同关键字的节点就直接返回，直到找到一个合适的空节点可以插入该节点即可。
删除操作则比较麻烦，首先进行二叉查找找到相应的节点，然后删除对应的节点。首先这一过程不是单纯的删除该节点就行了，还需要找到一个节点来顶替该节点，如果被删除的节点只有一个子节点的话，那直接用z的子节点顶替z就行了。但是如果两个子节点都存在的话，就需要找到z的后继节点y，用这个y去顶替z的位置。
另外考虑到在删除节点之后还要进行树的平衡调整，所以有必要记录那个地方的节点被移除了一个，当用y来顶替z的位置时，z处的树形其实并没有发生变化，反而y原来所处的位置应该要进行调整。基于此，用x来保存需要进行调整的位置。
void remove(Value v) {
auto z = find(root, v);
if (!z) return;
auto y = z;
// 删除z节点
// 找到节点来顶替z，x节点保存的信息为
if (!y->left) x = y->right;
else if (!y->right) x = y->left;
else { y = left_most(y->right); x = y->right; } // 后继节点
if (y == z) { // 直接用z的独子x来顶替z的位置
// 更新x和z->parent的相关信息
}
else { // z存在两个子节点，找到后继节点y，用y来顶替
z->left->parent = y, y->left = z->left;
if (y == z->right) // 处理y刚好为z的右子节点的情况
else // 处理y为不相邻的子节点
y->parent = z->parent;
swap(y->color, z->color);
}
delete z;
}
4. AVL的树形调整
平衡二叉树需要保证树的左右子树高度之差不超过1，所以在插入和删除操作之后需要对树进行调整，调整时主要就是根据左右子树的高度来进行左旋右旋。
void avl_tree::rebalance(tree_node_base *x) {
while(x != header) {
int balance = height(x->left) - height(x->right); // 高度差
if (balance > 1) { // 左边高了
if (x->left->right) rotate_left(x->left, root);
rotate_right(x, root);
} else if (balance < -1) { // 处理右边高了 }
else x = x->parent // 回溯到根节点
}
}
5. 红黑树树形调整
红黑树在插入和删除时的调整分别是不同的，因为插入时是增加了一个红色节点，需要满足相邻的父子节点不会同时为红色，因此需要调整到父节点不为红色的情况。而删除时则是因为可能会少了黑色节点而需要调整，也就是说，如果删除时删除了红色节点其实是不需要再平衡的。
先看看红黑树插入的时候如何进行平衡，首先区分x是左节点还是右节点。找到x的伯父节点y，如果y和parent都为红的话，可以同时调整为黑色，然后将爷爷改为红，这样只需要继续调整爷爷就行了。
其次，如果伯父节点为黑色的话，通过一系列的旋转操作，可以调整平衡。
void rb_tree::rebalance(tree_node_base *x) {
x->color = red;
while(x != root & & is_red(x->parent)) {
if (x->parent是左节点) {
y = // x的parent的兄弟节点
if (is_red(y)) { // y 和 x->parent都为红色可以合并
y->color = x->parent->color = black
x->parent->parent->color = red;
x = x->parent->parnet // 继续调整爷爷
} else {
// 伯父y为黑，需要旋转
if (x是右节点) rotate_left(x->parent, root);
else x = x->parent;
swap(x->color, x->parent->color); // 红x，黑x->parent 交换
rotate_right(x->parent, root);
}
} else {
// 对称处理x为右节点的情况
}
}
root()->color = black;
}
红黑树删除之后的平衡比较麻烦，x节点表明了该条路经上需要增加一个黑色节点，主要需要x的兄弟节点w的配合，首先如果兄弟节点w为红色，先通过旋转将其调整为黑色
然后判断w的两个孩子节点，如果都为黑色的话就让w变为红色，然后继续调整x->parent，也就是x的父节点的路径上需要增加一个黑色节点
最后如果w的两个孩子中有一个红色节点，如果左节点为红色，先通过调整让其为黑色，然后将w旋转成为新的x_parent，这样原来的x的路径上现在既有x_parent也有w，也就是增加了一个黑色节点，但是问题是旋转之后w->right路径上面现在少了一个黑色节点，所以直接将w->right从红色变为黑色即可。
void rb_tree::rebalance_for_erase(tree_node_base *x, tree_node_base *x_parent) {
while(x != root & & is_black(x)) {
if (x 是左节点) {
auto w = x_parent->right; // 兄弟节点
if (w->color == red) { // 这一步能确保x的兄弟节点为黑色
swap(w->color, x_parent->color);
rotate_left(x_parent, root);
w = x_parent->right;
}
if (is_black(w->left) & & is_black(w->right)) {
w->color = red;
x = x_parent, x_parent = x_parent->parent;
} else {
// w至少有一个孩子为红
if (is_red(w->left)) { // 这一步骤能够确保，w->left为黑，而w->right为红
swap(w->left->color, w->color);
rotate_right(w, root);
w = x_parent->right;
}
swap(w->color, x_parent->color);
rotate_left(x_parent, root);
if (w->right) w->right->color = black;
break; // 已经增加了一个黑色节点，可以退出了
}
} else {
// 对称处理x为右节点的情况
}
}
}
红黑树在调整的过程中经常要用到旋转操作，一个比较方便的技巧就是在旋转两个节点的位置之前，先交换他们的颜色，这样就能够保证旋转之后的红黑颜色特性保持不变。
6. 完整代码
平衡二叉树和红黑树完整源码请参考：https://github.com/wxggg/algorithm/blob/master/include/tree.hh
参考
[1] 侯捷. STL源码剖析[M]. 华中科技大学出版社, 2002.